LO SPAZIOTEMPO ELASTICO E LA RELATIVITA' GENERALE

PHILIPPE DAVERIO HA UNA EPIFANIA COMPLETA, IMMEDIATA E INTUITIVA DELLA TEORIA DELLE STRINGHE AL MUSEO DEL PRADO MENTRE ENUNCIA I CONTENUTI IMPLICITI E SIMBOLICI DEL PRIMO EPISODIO DEL DIPINTO DEL NASTAGIO DEGLI ONESTI DEL BOTTICELLI, ISPIRATO AD UN RACCONTO DEL BOCCACCIO, AD UNA SCOLARESCA DI CLASSI TERZA MEDIA IN GITA DIDATTICA A MADRID.

Fino alla fine del diciannovesimo secolo la realta' definita dalla scienza era prossima alle concezioni comuni e intuitive. Lo spazio era lo scenario in cui si svolgeva la realta', un contenitore che nulla aveva a che fare con il "contenuto". Il tempo era rigido e assoluto e uguale in tutto l'universo, e sembrava coincidere con la durata vissuta dagli uomini. C'era la materia, sostanza eterna del mondo. La forza faceva evolvere la materia nello spazio. E naturalmente tutto questo meccanismo a orologeria esisteva in un solo esemplare. Tutto cio' e' crollato completamente con Einstein. Il passare del tempo e' illusione, la realta' e' uno spaziotempo quadridimensionale in cui nulla corrisponde allo scorrere del tempo, la materia e' effimera, puo' essere creata a partire dall'energia e puo' dissolversi in radiazione impalpabile.


Prima di spiegare dettagliatamente la relativita' generale, vi anticipo che forse proporro' al mio amico e pittore A. Cimatti di usare il prototitolo posto in esergo a questo articolo come fonte d'ispirazione per un quadro, che dovra' pero' essere ben studiato negli intenti e nelle tecniche. Per quanto riguarda la teoria delle stringhe, occorre prima parlare diffusamente della fisica quantistica. Evitero' di parlare (non gia' perche' io creda che voi ne siate a conoscenza, considerata la scarsissima fiducia che nutro nei vostri confronti, ma perche' altrimenti facendo mi dilungherei troppo) degli studi sulla caduta dei corpi e sulla gravita' di Galilei e di Newton, della legge dell'elasticita' di Hooke, del tensore degli sforzi, del tensore delle deformazioni, (D=kT) eccetera. Diro' soltanto che Einstein ebbe l'illuminazione che lo avrebbe portato, otto anni dopo, alla relativita' generale, un giorno mentre era al lavoro all'ufficio brevetti di Berna: "Un uomo in caduta libera non avvertira' piu' il suo peso". Una volta appreso qualche rudimento dell'elasticita' di un mezzo continuo, secondo la meccanica classica, (se non ne sapete nada, andate a studiare, patetici esseri inetti e inutili, invece di ingozzarvi di diarrea da mane a sera) descriviamo la relativita' generale come elasticita' dello spaziotempo. Discutiamo due cose: 1) qual'e' l'analogo di D, cioe' qual'e' l'oggetto matematico che misura la deformazione di uno spaziotempo rispetto a quello uniforme di Minkowski e 2), qual'e' l'analogo di T, cioe' qual'e' l'oggetto matematico che misura la causa o la fonte della deformazione dello spaziotempo, senza cui resterebbe uno spaziotempo di Minkowski. La risposta alla seconda domanda e' stata ottenuta da Einstein abbastanza rapidamente con il seguente ragionamento. Innanzitutto, suggerisce di identificare l'oggetto che misura la cronogeometria dello spaziotempo, cioe' il tensore metrico g, con il campo gravitazionale. Cio' consegue dal principio di equivalenza, scoperto da A.E. nel 1907 (sorvoliamo anche qui. Parigi a volo d'uccello, ricordate Hugo? Studiate merde!). La tappa successiva consiste nel capire quale sia la fonte di g. Da Newton sappiamo che la massa misura al contempo cio' su cui agisce la gravita' , e cio' che crea un campo gravitazionale. Dunque la fonte della gravita' e', secondo Newton, la massa. Ma la relativita' ristretta ha completamente modificato e arricchito il concetto di massa, sostituendolo con la massa-energia. In virtu' della relazione E=mc(al quadrato)(sorry, ma non ho la funzione per mettere gli esponenti) la massa puo' mutare in energia o viceversa. Quindi ci si aspetterebbe che la fonte della gravita' sia la distribuzione nello spaziotempo di una certa quantita' di massa-energia. Ma le cose non sono cosi' semplici perche' uno studio approfondito mostra che la densita' per unita' di volume di massa-energia, non e' che una componente di un oggetto matematico piu' complesso chiamato tensore energia-impulso. Questo tensore ha dieci 10 componenti: una misura la densita' volumetrica di massa-energia, tre la densita' volumetrica d'impulso (o quantita' di moto) e sei il tensore degli sforzi, uguale a quello per un mezzo continuo a tre dimensioni. Chiameremo T questo tensore a dieci componenti che generalizza contemporaneamente la densita' di massa e il tensore degli sforzi. Nel 1911 Einstein accetta un posto di professore ordinario all'universita' tedesca di Praga (no, Praga non si trova in Germania). Vi trascorre un anno durante il quale frequenta il salotto letterario di Berta Fanta (che beveva sprite) e conosce scrittori e pensatori praghesi quali Max Brod e Franz Kafka.Ottiene anche ottimi risultati tra cui una versione piu' precisa del principio di equivalenza nonche' l'ipotesi che tale principio implichi una deflessione osservabile dei raggi luminosi che passano vicino al Sole e uno spostamento verso il rosso, cioe' verso frequenze piu' basse, dello spettro (no, non si tratta di fantasmi) emesso da un corpo massiccio (come appunto Il Sole). Allora, in sostanza, a) il campo gravitazionale e' equivalente ad una deformazione della geometria dello spaziotempo e deve pertanto essere descritto con le dieci componenti del tensore metrico g, b) la fonte del campo g e' la distribuzione di massa-energia, di impulso e tensioni, descritta da un oggetto di dieci componenti, il tensore energia-impulso T , e infine c) l'equazione fondamentale della gravita' relativistica deve avere la forma di una legge di elasticita' dello spaziotempo, vale a dire D(g)=kT. Einstein si rivolse al suo amico M. Grossmann per farsi aiutare a trovare una buona definizione dell'oggetto matematico D(g). Purtroppo Grossmann non aveva familiarita' con la geometria non omogenea di cui Einstein aveva bisogno, pertanto i due dovettero fare sforzi sovrumani per capire le implicazioni fisiche di alcuni strumenti matematici derivati dagli studi condotti da Riemann, Christoffel, Ricci e Levi-Civita. Questi erano arrivati alla definizione di numerosi oggetti matematici misuranti la differenza tra uno spazio deformato e uno spazio rigido e uniforme. Contrariamente a quanto si potrebbe pensare, non basta stabilire la differenza in ogni punto fra il tensore metrico g della geometria deformata e il valore semplice assunto da questo tensore in uno spaziotempo non deformato.Situiamoci all'interno di un qualunque spaziotempo, deformato dalla presenza di materia e munito di un tensore metrico g, e lasciamo cadere in caduta libera un ascensore. L'idea iniziale era che il campo gravitazionale fosse cancellato. Ma la cancellazione e' completa? No. In pratica, all'interno di un "ascensore" in caduta libera continua a esistere una parte del campo gravitazionale, la parte che la caduta dell'ascensore non riesce a cancellare a causa delle variazioni da un punto all'altro del campo.La teoria matematica di un residuo non completamente cancellato di un campo gravitazionale g in un sistema di riferimento in caduta libera, fa comparire un oggetto matematico con venti componenti, "il tensore di Riemann-Christoffel". Questo tensore R, anche se definiva perfettamente la deformazione di uno spaziotempo curvo, non poteva essere l'oggetto matematico cercato da Einstein che, come T, doveva avere solo dieci componenti. Alla fine Einstein dopo molte esitazioni riusci', nel 1915 , a trovare l'oggetto da lui cercato, in grado di misurare una deformazione dello spaziotempo rispettando il principio di relativita' generale e la conservazione dell'energia e dell'impulso.(g) tensore di Einstein.Equazione della gravita' di Einstein D(g)=kT dove le componenti di sinistra misurano le deformazioni della cronogeometria dello spaziotempo mentre quelle di destra contengono la fonte di queste deformazioni. Non resta che definire semplicemente il valore del coefficiente k che misura l'elasticita' della gelatina spaziotemporale. Utilizzando le unita' abituali dei fisici teorici, si trova che il valore numerico dell'elasticita' dello spaziotempo e' all'incirca di due volte dieci elevato alla meno quarantotto. Cio' mostra che l'elasticita' dello spaziotempo e' estremamente piccola o, per contro, che la sua rigidita' e' estremamente grande. Con questo si spiega come per millenni si e' potuto supporre che lo spazio e il tempo fossero strutture rigide, non influenzate dalla materia e dalle tensioni. Bisogna concentrare densita' abnormi di massa per deformare in modo significativo il tessuto spaziotemporale. Parleremo in seguito delle stelle di neutroni e dei black-hole.Lo spazio euclideo viene definito mediante due proprieta': a) e' uno spazio a tre dimensioni e b) la distanza tra due punti e' definita da una generalizzazione del teorema di Pitagora. Tutte le altre strutture dello spazio euclideo possono essere dedotte da queste proprieta' fondamentali. Nella relativita' ristretta la proprieta' "a" si modifica aumentando le dimensioni da tre a quattro e i punti di questo spazio (detti eventi) sono individuati da quattro coordinate reali, lunghezza, larghezza, altezza e tempo. Qual'e' l'analogo (qui siete pregati di non confondere il termine "analogo" con la dottrina di Tommaso d'Aquino dell'analogicita' dell'essere, che vi spieghero' in un'altra occasione) della nozione di distanza tra due eventi? E' il cosiddetto intervallo spaziotemporale. E' definito da una formula matematica semplice ma ha conseguenze fisiche rilevanti: "Il quadrato dell'intervallo tra due eventi A e B e' uguale alla somma dei quadrati delle differenze di lunghezza, larghezza e altezza di A e B, meno il quadrato della differenza temporale tra A e B, moltiplicata per la velocita' della luce al quadrato". La nozione dell'intervallo tra due eventi definisce cio' che si puo' chiamare cronogeometria o, se preferite, geocronometria dello spaziotempo. Si puo' rappresentare la cronogeometria dello spaziotempo disegnando attorno a ciascun evento P l'insieme degli eventi separati da P da un intervallo il cui quadrato vale 1. Poiche' tale quantita' puo' essere positiva, negativa o nulla, una rappresentazione completa della cronogeometria dello spaziotempo comporta il tracciare, attorno a ciascun evento P, tre insiemi di eventi, l'insieme di eventi separati da P da un intervallo al quadrato uguale a +1, -1 e 0. Notiamo che il luogo degli eventi a distanza nulla e' costituito da due coni uniti ai vertici, uno diretto verso l'alto dello spaziotempo, vale a dire verso quello che chiamiamo convenzionalmente il futuro, l'altro diretto verso il basso, cioe' verso il passato. Dato che rappresenta gli eventi collegati a P da un raggio (il termine raggio riferito alla luce non ha assolutamente alcun senso, come vedremo, ma ora andiamo per le spicce) di luce, viene chiamato "cono di luce di P". La massa e' una misura dell'energia contenuta in un corpo, in particolare, la luce trasporta una massa. Tradotto in formula, E=mc(al quadrato). Questa formula ha cambiato in modo definitivo l'idea di materia. A partire da E=mc(al quadrato) o in forma inversa, m=E/c(al quadrato) la massa, dunque la materia, perde il suo carattere perenne. Se un corpo acquista energia, ad esempio lo si scalda, la sua massa aumenta. Se invece la perde, ad esempio sotto forma di radiazione elettromagnetica, la sua massa diminuisce.



SERA
SERA PIOVOSA IN UN GRIGIO STANCO,
COSI' VA IL MONDO.
GLI ALBERI SECCHI PUNTEGGIANO D'INCHIOSTRO IL BLU ELETTRICO
DEI CUMULONEMBI.
CHI SA SE LA NATURA HA PER ME
UN'ANIMA DI CRISTALLO.
PARLANDO LE MIE PAROLE RESTANO NELL'ARIA
COME SUGHERI SULL'ACQUA.

SOLO PER I TUOI OCCHI SOFFRO QUESTO MALE.
TRISTEZZE DEL PASSATO E ALTRE CHE VERRANNO.
SERA PIOVOSA IN UN GRIGIO STANCO,
COSI' VA IL MONDO.